Forstå den fysiske naturen med matte?

Markeringer som Abelprisen er med på å minne oss på hva matematikken hjelper oss med å forstå og hva vi bruker matematikken til. Matematikk er ikke bare en utregning, en ligning eller forståelse av mengder. Matematikk gir oss verktøy til hvordan vi kan forutsi og forklare naturlovene og den fysiske verden vi lever i. Det matematiske forskningsfeltet er bredt, men det er likevel enkelte forskere som utmerker seg for fremragende bidrag. Luis Caffarelli er en av dem. I Abelpris ånd inspirerer han og bidrar til å vekke engasjement og interesse for matematikk. 

Luis Caffarelli (f. 1948) ble født og vokste opp i Buenos Aires, Argentina. Han avla sin PhD ved Universitetet i Buenos Aires i 1972. Etter det flyttet han til USA, og han har hatt hele sin karriere ved forskjellig amerikanske institusjoner. Han startet i Minnesota, og der ble grunnlaget for hans utrolige karriere lagt. Etter det har han vært ved flere universiteter, blant annet ti år ved Institute for Advanced Study i Princeton (der Einstein var). Fra 1997 har han vært professor ved University of Texas i Austin. 

Abel Laureate Luis Caffarelli giving his lecture in Oslo 2023, Foto: Ola G. Sæther/AbelPrize

Caffarellis fagfelt er partielle differensialligninger. Mennesket har i uminnelige tider prøvd å forstå og forutsi oppførelsen til naturen rundt seg.

Men vi vet at naturen ofte er uforutsigbar og vanskelig å forstå. Det er derfor lett å forstå at mange av de fundamentale spørsmålene fortsatt er ubesvarte. For differensialligninger prøver vi å finne ut om ligningene har løsninger i det hele tatt, og i tilfelle de har en løsning – er denne entydig?  Sist, men ikke minst, hvor «ville» eller irregulære er løsningene?  Dette er spørsmål som Caffarelli har studert på ulike ligninger. 

Han har arbeidet mye med såkalte frie randverdiproblemer. Et eksempel er is som smelter til vann. Her er den frie overflaten den smeltende isoverflaten, og den skal beregnes.  Hvordan utvikler den seg? Et annet problem er når vann eller olje trenger gjennom et porøst medium, for eksempel jord eller petroleumsreservoar. Hvordan beveger overflaten til vannet eller oljen seg? Hvor uregelmessig er den?

Et annet problem er såkalte forhindringsproblemer. Et eksempel er når man presser et elastisk legeme mot en fast overflate – det kan være en tennisball som treffer banen eller en ballong som dyttes mot en vegg. Det er naturlig å spørre om hvordan ballen eller ballongen blir deformert, og dette er et meget vanskelig matematisk problem. 

Matematikk er et universelt språk, og samme matematikk kan benyttes på høyst ulike problemer.  Det har vist seg at Caffarellis arbeid på frie randverdiproblemer også kan benyttes innen matematisk finans. 

Et av den vanskeligste problemer i matematikk gjelder ligningene som beskriver oppførselen til vann. En god modell for flyt av vann er de såkalte Navier-Stokes ligningene. Vi vet ikke om de har en matematisk løsning. Det er utlovet en belønning på én million amerikanske dollar for den som beviser at ligningene alltid har en løsning, eller det motsatte. Caffarelli, sammen med Kohn og Nirenberg (Abelprisvinner i 2015), viste allerede i 1982 at området der en løsning kanskje ikke eksisterer, må være svært lite, og ikke kan vare lenge. Men de kan ikke utelukke at et slikt område eksisterer. Selv førti år senere er det det beste resultatet vi har.

Caffarellis matematiske resultater er særpreget av en utrolig intuisjon som setter ham i stand til å identifisere kjernen i problemet, og hvordan man skal overvinne problemene. Samtidig har han en formidabel teknisk ferdighet som det er få forunt å ha. Han har mottatt en rekke av de mest prestisjefylte matematikkprisene. Her kan vi nevne Wolf-prisen og Shaw-prisen. 

Matematikk kan være en ensom aktivitet, og mange liker å arbeide alene på sine problemer. Men for Caffarelli er matematikk også en sosial aktivitet, og med over 130 samarbeidspartnere har han vist at man kan også gjøre fremragende matematikk som et team.